Quasi-cluster algebras from non-orientable surfaces

With any non necessarily orientable unpunctured marked surface (S,M) we associate a commutative algebra, called quasi-cluster algebra, equipped with a distinguished set of generators, called quasi-cluster variables, in bijection with the set of arcs and one-sided simple closed curves in (S,M). Quasi-cluster variables are naturally gathered into possibly overlapping sets of fixed cardinality, called quasi-clusters, corresponding to maximal non-intersecting families of arcs and one-sided simple closed curves in (S,M). If the surface S is orientable, then the quasi-cluster algebra is the cluster algebra associated with the marked surface (S,M) in the sense of Fomin, Shapiro and Thurston. We classify quasi-cluster algebras with finitely many quasi-cluster variables and prove that for these quasi-cluster algebras, quasi-cluster monomials form a linear basis. Finally, we attach to (S,M) a family of discrete integrable systems satisfied by quasi-cluster variables associated to arcs in the quasi-cluster algebra and we prove that solutions of these systems can be expressed in terms of cluster variables of type A.Comment: 38 pages, 14 figure

Dynamique sur les espaces de représentations de surfaces non-orientables

We consider the space of representations Hom(Pi,G) of a surface group Pi into a Lie group G, and the moduli space X(Pi,G) of G-conjugacy classes of such representations. These spaces admit a natural action of the mapping class group of the underlying surface S, and this actions displays very rich dynamics depending on the choice of the Lie group G, and on the connected component of the space that we consider. In this thesis, we focus on the case when S is a non-orientable surface. In the rst part, we study the dynamical properties of the mapping class group actions on the moduli space X(Pi,SU(2)) and prove that this action is ergodic when the Euler characteristic of the surface is less than -1 with respect to a natural measure on the space. In the second part, we show that the representation space Hom (Pi , PSL(2,R)) has two connected components indexed by a Stiefel-Whitney class.Nous considérons l'espace de représentations Hom(Pi,G) d'un groupe de surface Pi dans un groupe de Lie G, et l'espace de modules X(Pi,G) des classes de conjugaison de ces représentations. Le groupe modulaire de la surface sous-jacente agit naturellement sur ces espaces, et cette action possède une dynamique très riche qui dépend du choix du groupe de Lie G, et de la composante connexe de l'espace sur laquelle on se place. Dans cette thèse, nous étudions le cas où S est une surface non-orientable. Dans la première partie, nous étudions les propriétés dynamiques de l'action du groupe modulaire sur l'espace de modules X(Pi, SU(2)) et prouvons que cette action est ergodique lorsque la caractéristique d'Euler de la surface est inférieure à -2. Dans la deuxième partie, nous montrons que l'espace des représentations Hom(Pi, PSL(2,R)) possède deux composantes connexes indexées par une classe de Stiefel-Whitney

Dynamique sur les espaces de représentations de surfaces non-orientables

We consider the space of representations Hom(Pi,G) of a surface group Pi into a Lie group G, and the moduli space X(Pi,G) of G-conjugacy classes of such representations. These spaces admit a natural action of the mapping class group of the underlying surface S, and this actions displays very rich dynamics depending on the choice of the Lie group G, and on the connected component of the space that we consider. In this thesis, we focus on the case when S is a non-orientable surface. In the rst part, we study the dynamical properties of the mapping class group actions on the moduli space X(Pi,SU(2)) and prove that this action is ergodic when the Euler characteristic of the surface is less than -1 with respect to a natural measure on the space. In the second part, we show that the representation space Hom (Pi , PSL(2,R)) has two connected components indexed by a Stiefel-Whitney class.Nous considérons l'espace de représentations Hom(Pi,G) d'un groupe de surface Pi dans un groupe de Lie G, et l'espace de modules X(Pi,G) des classes de conjugaison de ces représentations. Le groupe modulaire de la surface sous-jacente agit naturellement sur ces espaces, et cette action possède une dynamique très riche qui dépend du choix du groupe de Lie G, et de la composante connexe de l'espace sur laquelle on se place. Dans cette thèse, nous étudions le cas où S est une surface non-orientable. Dans la première partie, nous étudions les propriétés dynamiques de l'action du groupe modulaire sur l'espace de modules X(Pi, SU(2)) et prouvons que cette action est ergodique lorsque la caractéristique d'Euler de la surface est inférieure à -2. Dans la deuxième partie, nous montrons que l'espace des représentations Hom(Pi, PSL(2,R)) possède deux composantes connexes indexées par une classe de Stiefel-Whitney

Connected components of PGL(2,R)-Representation Spaces of Non-Orientable Surfaces

International audienceThe Teichmüller space of a surface naturally embeds as a connected component in the moduli space of representations from the fundamental group of the surface into the group of isometries of the hyperbolic plane. We present invariants that distinguish all the connected components of the space of representations. This allows us to compute the number of connected components of these spaces both in the orientable and in the non-orientable case

TRACE SYSTOLES AND SINK CONSTANT

We study the (relative) SL(2, C)-character varieties of surface groups, and we define the trace systole of a representation as the infimum of trace the image of simple closed curves by this representation. This function admits a global maximum on each relative character variety (and similarly on each connected component of the PGL(2, R)character variety). The exact value of these maxima is unknown in general, and the main results of this note are the explicit values of these maxima for certain boundary data in the case of the one-holed torus, the four-holed sphere and the closed non-orientable surface of genus 3. These new methods allow us to generalize some already known results on systolic inequalities for hyperbolic surfaces, and also to answer questions of Bowditch and Goldman about non-Fuchsian representations of surface groups

Kleinian groups Background

We introduce basic notions about convex-cocompact actions on real rank one symmetric spaces. We focus mainly on the geometric interpretation as isome-tries of hyperbolic spaces, and we give the main characterizations of convex-cocompactness in this setting

On the character variety of the three–holed projective plane

International audienc

Dynamique sur les espaces de représentations de surfaces non-orientables

Nous considérons l'espace de représentations Hom(Pi,G) d'un groupe de surface Pi dans un groupe de Lie G, et l'espace de modules X(Pi,G) des classes de conjugaison de ces représentations. Le groupe modulaire de la surface sous-jacente agit naturellement sur ces espaces, et cette action possède une dynamique très riche qui dépend du choix du groupe de Lie G, et de la composante connexe de l'espace sur laquelle on se place. Dans cette thèse, nous étudions le cas où S est une surface non-orientable. Dans la première partie, nous étudions les propriétés dynamiques de l'action du groupe modulaire sur l'espace de modules X(Pi, SU(2)) et prouvons que cette action est ergodique lorsque la caractéristique d'Euler de la surface est inférieure à -2. Dans la deuxième partie, nous montrons que l'espace des représentations Hom(Pi, PSL(2,R)) possède deux composantes connexes indexées par une classe de Stiefel-Whitney.We consider the space of representations Hom(Pi,G) of a surface group Pi into a Lie group G, and the moduli space X(Pi,G) of G-conjugacy classes of such representations. These spaces admit a natural action of the mapping class group of the underlying surface S, and this actions displays very rich dynamics depending on the choice of the Lie group G, and on the connected component of the space that we consider. In this thesis, we focus on the case when S is a non-orientable surface. In the rst part, we study the dynamical properties of the mapping class group actions on the moduli space X(Pi,SU(2)) and prove that this action is ergodic when the Euler characteristic of the surface is less than -1 with respect to a natural measure on the space. In the second part, we show that the representation space Hom (Pi , PSL(2,R)) has two connected components indexed by a Stiefel-Whitney class.GRENOBLE1-BU Sciences (384212103) / SudocSudocFranceF